пятница, 11 марта 2016 г.

Натуральные числа. 5 класс

Начинаю серию статей по математике под рабочим названием "Бабушкина математика". 

Практика показывает, что трудности с выполнением домашнего задания по математике иногда возникает не только  у школьников, но и у их родителей. Разберемся вместе методом моей бабушки, которая могла любому доступно и интересно объяснить математику, и попробуем распутать этот  клубок вечерней нервотрепки под названием "домашка по матемше".

К сожалению, бабушки с нами уже нет и я не успела научится у нее этому волшебству. Но есть замечательные книги Владимира Артуровича Левшина и Александровой Эмилии Борисовны, в которых живет сказка понятной математики.

Сегодня будем читать Стол находок утерянных чисел, глава 4.

Первая тема по математике в пятом классе - Натуральные числа и нуль. Натуральный ряд.


ЧАШКА ЧАЯ, ДЕСЯТЬ ФИШЕК
Мы вышли из Стола находок и остановились в нерешительности. Куда идти? Если бы речь шла о пропавшем слоне, всё было бы ясно. На слоновьи ассоциации следует охотиться в Африке. Или в Индии. Или, на худой конец, в местном зоопарке. Другое дело — ассоциации числовые. Они могут возникнуть где угодно, по той простой причине, что числа — всюду.

Вот улица. У неё две стороны. На обеих — дома. Все они пронумерованы. На одной стороне — номера чётные, на другой — нечётные. И что это, если не числа? Или другой пример: дом. Стар он или нов, мал или велик, низок или высок — в любом случае у него есть окна, двери, лестницы, ступеньки и, уж конечно, не меньше одного этажа. Всё это опять-таки легко пересчитать.

То же самое можно сказать о любом без исключения предмете. Или растении. Или живом существе. Даже таком крохотном, как Пуся, у которого есть короткие лапы, хвост, чудесные уши с кисточками, мокрый холодный нос, любопытные пуговки-глаза, свежий розовый язык, острые белые зубки и, наконец, чёрная лохматая шёрстка, состоящая из шелковистых волосков. Сосчитать их, правда, вряд ли удастся — разве что электронно-вычислительной машиной…

Да, прав был великий математик Лобачевский! Поистине, нет ничего на свете, чего нельзя было бы выразить числами. И раз числовые ассоциации могут возникнуть всюду, почему бы нам не отправиться в парк? По крайней мере, совместим приятное с полезным… Но в том то и дело, что парка в Энэмске нет. Почему? Да потому, что весь он от начала до конца — чудесный громадный парк.

Сами понимаете, что выбор маршрута в таких условиях — дело нелёгкое, и мы тотчас заспорили.


Положение сложилось почти такое, как в известной басне Ивана Андреевича Крылова, где лебедь рвётся в облака, рак пятится назад, а щука тянет в воду. С той разницей, что в нашей компании был и щенок. Он-то и решил исход дела! Солнце, зелень, промытый дождём воздух — всё это привело его в восторг, и, не обращая на нас ни малейшего внимания, он помчался вперёд, оглашая улицу радостным тявканьем. Мы, естественно, помчались за ним и вскоре очутились у небольшого уютного павильона с заманчивой вывеской: «Чашка чая, десять фишек».

Тут Пуся остановился как вкопанный, а девочка, наоборот, нетерпеливо заплясала на месте и заявила, что ей страсть как хочется чаю с печеньем. Пришлось объяснить, что фишки — не печенье, а жетончики с цифрами и что в павильоне, но-видимому, играют в какую-то числовую игру.
— Вот и прекрасно, — обрадовалась она. — Мы с Пусей будем пить чай, вы (это она мне!) — играть в числовую игру, а Главный терятель — подстерегать ассоциации.
— Благодарю вас, — иронически расшаркался Главный терятель, — очень, очень вам признателен.

Как я и предполагал, в павильоне действительно играли в числовую игру, и даже не в одну, а во многие. Хотя все они, так или иначе, были связаны с девятью цифрами десятичной системы счисления — той самой, которой мы с вами пользуемся. Но не ошиблась и девочка, когда думала, что фишки — это печенье. Здешние фишки и впрямь выпекают в кондитерской. Все они круглые, ароматные, румяные, только вместо рисунка на них цифры. По одной на каждой. Раздают их при входе в целлофановых пакетиках. В каждом пакетике набор из десяти сдобных кругляшек с цифрами от нуля до девятки включительно. Получив такой набор, посетитель занимает место у большого стола и раскладывает свои фишки на чистой бумажной салфетке.

Вы, конечно, хотите знать, где же обещанный чай? Не торопитесь. Чай подадут позже, когда 
игра окончится. И по-моему, это очень предусмотрительно. Ведь если чай принести сразу, все тут же позабудут об игре и через минуту от фишек ничего не останется. Потому что фишки с чаем — это вам не фишки всухомятку! Да и чай после задачи — это не чай до задачи. Сознание честно выполненного долга делает его вдвое… нет, втрое вкуснее.

Я не обмолвился, назвав игру задачей. Здешние игры ничем от задач не отличаются. Нам, в частности, предложили вычислить, сколько натуральных чисел можно составить из десяти фишек. Задача полезная, и я предложил заняться ею сообща.
Прежде чем приступить к решению, мне захотелось проверить, хорошо ли усвоила девочка наши утренние беседы в Столе находок, и я спросил, что ей известно о натуральных числах.
— Натуральные числа — это печенье! — выпалила она.

На первый взгляд, ответ несуразный. Но на самом дело он недалёк от истины.
Натуральные числа — самые древние на земле. Они появились тогда, когда людям понадобилось сосчитать созданное натурой, то есть природой: коз, овец. Звериные шкуры. Плоды. Деревья. То, чем питались, прикрывали наготу, обогревались в стужу, торговали. Вернее, менялись. Потому что в те далёкие времена денег ещё не было. И с этой точки зрения печенье, да ещё перенумерованное, несомненно, относится к натуральным числам. Хотя вообще-то название это условно. Потому что числа обладают одной удивительной способностью.

Как правило, они появляются на свет, когда мы пересчитываем вполне определённые, или, как говорят, конкретные предметы, но потом от этих предметов отделяются, а лучше сказать — отвлекаются, и продолжают жить отвлечённой, совершенно самостоятельной жизнью. При этом происходят вещи необычайные, поразительные и для нас с вами далеко не безразличные. Числа помогают нам познавать мир. Благодаря им учёные обнаруживают доселе незримые планеты, открывают неизвестные законы, создают сложнейшие машины. Словом, отвлечённые числа сильнейшим образом влияют на конкретную действительность… Впрочем, об этом я девочке ещё не рассказывал. Почему? Да потому, что всему своё время. Так что вернёмся лучше к нашей задаче.

Первым её решил Главный терятель, хотя и неверно. Он рассуждал так: какое самое большое натуральное число можно составить из десяти цифр? Ясно, что десятизначное. А наибольшее десятизначное число равно десяти миллиардам без единицы: 9 999 999 999. Это-то и есть число всех натуральных чисел до десятизначных включительно.

К сожалению, Главный терятель не понял задачи. Ведь речь в ней вовсе не обо всех натуральных числах до десятизначных включительно, а лишь о тех, которые можно составить из десяти фишек! Не говорю уже о том, что среди этих десяти фишек всего одна девятка, а в его числе — десять…
— Вот что значит — начать не с того бока, — укоризненно вздохнул я.
— А мы начнём с того, — сказала девочка. — Как вы думаете, сколько однозначных натуральных чисел можно получить из десяти фишек?
— Смешно! — пожал плечами Главный терятель, который успел уже перенять любимое девочкино словечко. — Где десять однозначных фишек, там и десять однозначных чисел.
И тут под столом громко затявкал Пуся.
— Что это с ним? — забеспокоился Главный терятель. — По-моему, он кашляет.
— А по-моему, смеётся, — возразил я. — Наверное, заметил, что вы опять ошиблись. К вашему сведению: нуль к натуральным числам не относится. А потому однозначных натуральных чисел девять.
— Я же говорила, что Пуся — необыкновенная собака, — сказала девочка с гордостью. — Это она привела нас к истине.
— На то она и Главная ищейка! — заключил я и предложил записать наше первое достижение на бумажных салфетках.

Следующий вопрос, естественно, касался двузначных чисел, и Пусе пришлось опять хохотать, потому что Главный терятель повторил свою первую ошибку. Он рассуждал так: самое большое двузначное число — 99. Но в него входят 9 однозначных. Значит, всего двузначных 90. К сожалению, он не учёл, что среди этих девяноста имеется девять чисел с одинаковыми цифрами: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99. А по условию, цифры в числе могут быть только разные. И стало быть, двузначных натуральных чисел только восемьдесят одно.
Главного терятеля это озадачило.
— Позвольте, позвольте, — запальчиво сказал он, — когда я приобщил к натуральным числам нуль, мне заявили, что он к таковым не относится. Но ведь и среди двузначных натуральных есть девять чисел с нулём: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90. Выходит, их тоже надо вычесть.
Я думал, что теперь хохотать будет не только Пуся, но и девочка. Но, против ожидания, она жалостливо вздохнула.
— Бедный! — сказала она, сочувственно глядя на Главного терятеля. — Неужели вы забыли, какая разница между числами и цифрами? Когда речь шла об однозначных числах, вы имели в виду нуль как число. Теперь мы перешли к двузначным, и в этом случае нуль уже не число, а цифра, означающая, что в разряде пусто…

Нет, до чего милая девочка! Недаром я к ней привязался. Не только весёлая, не только смышлёная, но и добрая. А доброта — великая сила. За примером недалеко ходить. Дружеское сочувствие подействовало на Главного терятеля самым благотворным образом, и он совершенно неожиданно для нас. а также для себя самого выдал весьма дельное замечании.
— Смотрите-ка, — сказал он, — натуральных двузначных чисел — восемьдесят одно. Но что такое 81? Это же 9, умноженное на 9…
— Очень кстати замечено, — похвалил я.
— Почему кстати? — поинтересовалась девочка.
— Сейчас поймёшь. Ведь мы как раз переходим к трёхзначным числам… А это вам не двузначные.
— Уж конечно, — поддакнул Главный терятель. — Во-нервых, их гораздо больше.

А во-вторых? — поинтересовался я. — Не знаете? Во-вторых, среди двузначных чисел попадаются такие, что состоят из двух одинаковых цифр. А среди трёхзначных сверх того есть ещё и такие, что состоят из трёх одинаковых. В числе 552 — две одинаковые цифры, а в числе 555 — три. Так что…
— Так что считать нам не пересчитать, — подхватила девочка.
— Но угадала, засмеялся я. — Так что необходимо найти правило, которое поможет нам и не считать и не пересчитывать. И для этого вернёмся немного обратно. Сколько у нас однозначных чисел? Девять. Теперь подумаем, как из количества однозначных чисел получить количество двузначных? Очевидно, для этого придётся к каждому однозначному числу последовательно приставлять по одной из оставшихся фишек. Начнём с единицы. Сперва приставим к ней 0…
— Затем — единицу, — подсказал Главный терятель.

При этих словах Пуся опять засмеялся, а девочка сказала, что единицы у нас уже нет: ведь к ней-то мы и приставляем оставшиеся фишки и получаем при этом вот что: 10, 12, 13, 14, 15. 16, 17, 18, 19.
— Вот вам и все двузначные числа, начинающиеся с единицы, — подытожил я. — Нетрудно заметить, что их девять. Далее то же проделываем с однозначным числом 2 и получаем ещё девять двузначных чисел: 20, 21, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29…
— Как интересно! — загорелась девочка. — Теперь то же самое проделаем с числом 3, потом с числом 4…
— Но зачем? — возразил я, — Ведь мы уже заметили, что из каждого однозначного числа получается девять двузначных. И так как всего однозначных чисел 9, нам остаётся лишь помножить 9 на 9. Вот почему так кстати оказалось замечание нашего дорогого Главного терятеля. Ведь именно он подметил, что 81 — это 9, умноженное на 9…

Главный терятель вспыхнул от удовольствия и немедленно сделал ещё один шаг по пути прогресса. Он вдруг понял, как тем же способом узнать число трёхзначных чисел. Для этого, по его мнению, число двузначных следует помножить на восемь. Почему? Да потому, что на каждое двузначное число из десяти фишек пошло две. Стало быть, свободными остались восемь. Таким образом, число трёхзначных можно представить так: 9x9x8.

Мы уже хотели двинуться дальше, но тут девочка вспомнила о своих секретарских обязанностях и пожелала занести наши достижения в блокнот. Для удобства она записала их столбиком:
Однозначные — 9
Двузначные — 9 X 9
Трёхзначные — 9 X 9 X 8

После этого она вдруг задумалась, потом вскочила, завертелась на одной ножке и завопила на весь павильон:
— Ура! Задача решена! Сейчас нам дадут чаю!
— Спокойно, спокойно, — уговаривал я, — ты же ещё ничего не объяснила…

Но она возразила, что тут и объяснять нечего. И так ясно, что чем больше значность, тем меньше число оставшихся фишек. Когда мы перейдём к вычислению четырёхзначных, их уже будет 7, пятизначных — 6, шестизначных — 5 и так далее, и так далее. И потому записать это следует так:
Однозначные — 9
Двузначные — 9x9
Трёхзначные — 9X9X8
Четырёхзначные — 9x9x8x7
Пятизначные — 9x9x8x7X6
Шестизначные — 9x9x8x7x6X5
Семизначные — 9x9x8x7x6x5x4
Восьмизначные — 9x9x8x7x6x5X4x3
Девятизначные — 9x9X8x7x6x5X4x3x2
Десятизначные — 9x9x8x7x6x5x4x3x2x1
— Восхитительно! Совершенно восхитительно! — повторял Главный терятель, любуясь девочкиной таблицей, очень, надо сказать, аккуратной. — Но самое интересное вот что: количество девятизначных и десятизначных чисел совершенно одинаково. Ведь последняя строчка отличается от предпоследней только одним множителем — единицей. А все знают, что от умножения на единицу произведение не меняется.

— Делаете успехи! — заметил я.
— Сам себе удивляюсь, — улыбнулся Главный терятель и вдруг застыл с выпученными глазами. — Какой же я болван! У меня уже с полчаса вертится в голове ассоциация, а я всё забываю о ней сказать.
— Так выкладывайте её скорей, пока опять не забыли! — торопила девочка, снова хватаясь за свой блокнот.
— Пожалуйста, — сказал Главный терятель и действительно выложил все свои фишки по порядку номеров. — Взгляните: перед вами десять последовательных цифр. Все они разные.
— Ну и что? — не понял я.
— А то, что в утерянном номере все цифры тоже были разные.
— Ассоциация! Первая ассоциация! — торжественно изрекла девочка. — Заношу в протокол: в номере все цифры разные. А теперь — пусть нам дадут чаю!

Она была права. Задачу мы решили, притом совершенно правильно. Нам оставалось два дела: произвести арифметический подсчёт и получить заслуженную награду. Первое можно было не делать: это любому школьнику по плечу. Второе мы сделали с превеликим удовольствием, потому что чай оказался на славу. А уж фишки… Такого необыкновенного печенья я ещё не пробовал. Честно говоря, я даже пожалел, что вместо десяти штук мне до сталось всего семь с половиной. Почему? Очень просто. Войдя в павильон, все мы получили по целлофановому пакетику с фишками. Все, кроме Пуси. Очевидно, здешнему персоналу не пришло в голову, что щенок тоже может участвовать в числовой игре. А он между тем играл наравне со всеми и всякий раз честно тявкал, заслышав очередную нелепицу Главного терятеля. Могли мы оставить его без сладкого? Конечно, нет! И каждый из нас троих отдал ему четверть своих фишек и своего чая.

Но, поразмыслив, мы решили, что Пуся заслуживает даже бо́льшего. Ведь он с самого начала взял след и привёл нас именно туда, где у Главного терятеля появилась первая ассоциация, а у меня — первая примета утерянного номера! Да, права была девочка: Пуся — необыкновенный пёс. Имя его следовало увековечить, и после недолгого совещания розыск утерянного билета стал называться операцией «Пуся».



Иллюстрация из книги Стол находок утерянных чисел В.Сергеева.

Комментариев нет:

Отправить комментарий